기초 이론 — 신호와 영상의 물리

복소수 신호·위상의 수학

I/Q오일러 공식M×S*wiki/sar-complex-signal-phase-math

한 줄 요약

SLC 한 픽셀은 복소수 신호 I + jQ 하나로, 진폭은 후방산란 세기를, 위상은 전파의 왕복 시점(회전 각도)을 담는다. 위상을 복소수로 다루는 진짜 이유는 저장이 아니라 계산이다 — 회전이 오일러 공식 e^(jθ)=cosθ+jsinθ 덕분에 곱셈 한 번으로 끝나기 때문이다. Interferogram은 Master × Slave*(Slave의 켤레)이고, 이 곱셈이 위상차 θ₁−θ₂를 자동으로 추출하며 그 값이 곧 경로 길이차가 되어 표고·변위로 환산된다. SNAPHU가 푸는 대상이 바로 이 θ₁−θ₂다.

SLC 픽셀 = 복소수 신호 (I/Q)

전파는 「진폭 + 회전하는 파동」이며, SAR이 받은 한 픽셀은 좌표로 보면 (I, Q), 복소수로 보면 I + jQ로 같은 정보의 두 표기일 뿐이다.
진폭 A = √(I² + Q²)는 후방산란 세기, 즉 내가 쏜 전파 중 돌아온 양을 뜻한다.
위상 θ = atan2(Q, I)는 전파가 돌아온 시점, 곧 회전 각도를 담으며, 이 위상이 InSAR의 핵심이다.
GRD가 진폭만 남기고 위상을 버리는 제품인 이유가 바로 여기서 갈린다.

📡수신 전파진폭 + 위상

SLC 픽셀I + jQ

진폭 A후방산란 세기 → GRD

위상 θ왕복 시점 → InSAR

수신 전파에서 SLC 복소 픽셀, 그리고 진폭·위상 분기까지

왜 복소수인가 — 회전 = 곱셈

핵심은 복소수가 저장에 편하다는 것이 아니라, 회전을 곱셈 한 번으로 처리한다는 점이다.
x·y 좌표 방식은 x' = x·cosθ − y·sinθ, y' = x·sinθ + y·cosθ처럼 픽셀 수백만 개마다 삼각함수를 돌려야 해 비용이 폭증한다.
복소수 방식은 e^(jθ)를 곱하는 곱셈 한 번으로 끝나며 삼각함수 호출이 없다.
예로 신호 (1,0)을 90° 회전하면 좌표 방식은 회전공식을 쓰지만, 복소수 방식은 그냥 j를 곱해 (0,1)을 얻는다.

	x·y 좌표 방식	복소수 방식
회전 연산	x·cosθ − y·sinθ 등 회전공식	× e^(jθ) 곱셈 한 번
삼각함수	픽셀마다 sin·cos 폭증	삼각함수 없음

좌표 방식 vs 복소수 방식의 회전 처리

오일러 공식 — 회전을 숫자 하나로

반지름 1 원 위를 도는 점은 (cosθ, sinθ), 복소수로는 cosθ + j·sinθ이며, 이것이 놀랍게도 e^(jθ)와 같다는 것이 오일러 공식이다.
그래서 전파 한 줄을 A·e^(jθ)로 쓴다 — I/Q 평면 위에서 길이 A, 각도 θ인 벡터 하나다.
SAR 엔지니어가 오일러 공식을 쓰는 이유는 증명이 아니라, 회전하는 전파를 한 줄로 표현해 위상 연산을 곱셈으로 환원하기 때문이다.

e^{j θ} = cos θ + j sin θ

$A$: 진폭 (벡터 길이)
$θ$: 위상 (회전 각도)
$j$: 허수 단위 (90° 회전)

오일러 공식: 회전하는 전파를 A·e^(jθ) 한 줄로

켤레복소수와 Interferogram = M × S*

InSAR가 원하는 것은 절대 위상이 아니라 두 촬영의 위상차 θ₁ − θ₂인데, 그냥 곱하면 위상이 더해져(θ₁+θ₂) 의미가 없어진다.
그래서 Slave의 켤레복소수, 즉 위상 부호를 뒤집은 e^(−jθ₂)를 곱하면 AB·e^(j(θ₁−θ₂))가 되어 위상차가 자동으로 추출된다.
시계 비유로 Master 30°, Slave 20°일 때 그냥 더하면 50°(무의미)이지만, Slave를 −20°로 뒤집어 더하면 10°라는 원하는 상대 각도가 나온다.
SNAP의 Interferogram Formation 단계는 사실상 픽셀마다 이 M × S*를 수행하는 위상차 계산기이고, SNAPHU가 푸는 대상은 Master도 Slave도 아닌 바로 이 θ₁ − θ₂이며, 그 차이가 경로 길이차 ΔR을 거쳐 표고·변위로 환산된다.

MasterA·e^(jθ₁)

Slave 켤레 S*B·e^(−jθ₂)

✳️M × S*AB·e^(j(θ₁−θ₂))

경로차 ΔR→ 표고 / 변위

M × S* 곱이 위상차를 토하고 경로차·변위로 이어지는 흐름

주의점 · 함정

복소수를 저장 포맷으로만 외우면 M×S*가 끝내 안 풀린다 — 회전=곱셈이라는 계산 동기로 잡아야 켤레의 부호 뒤집기가 자연스럽다. M×S가 아니라 M×S*인 이유는 단 하나, 더하기(θ₁+θ₂)가 아니라 빼기(θ₁−θ₂)를 원하기 때문이며, 부호 실수는 위상차의 방향을 통째로 뒤집는다.